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什么是代数拓扑?

  拓扑学中主要用代数工具解决问题的分支。它的前身是组合拓扑,组合拓扑的奠基人是H.庞加莱,1895年他建立了单纯同调群即可三角剖分的空间(多面体)的同调群,引进了重要的拓扑不变量贝蒂数及挠系数。J.W.亚历山大在1915年证明了贝蒂数和挠系数是同胚不变量,单纯同调群是同胚不变量。同时庞加莱还引进了复形的基本群。1904年他给出了庞加莱猜想,即每个单连通的闭的可定向的三维流形同胚于三维球面,这个猜想后被推广为每个单连通的闭的n维流形,如果具有n维球S的贝蒂数和挠系数,它就同胚于S。庞加莱猜想尚未被证明。推广了的庞加莱猜想,对于n≥5的情形,为S.斯梅尔于1961年证明,对n=4的情形,为M.H.弗里德曼于1981年所证明。庞加莱是企图利用同调群和基本群对三维流形进行同胚分类,但亚历山大在1919年指出存在不同胚的三维流形,它们有同构的同调群和基本群。20世纪20年代S.莱夫谢茨和亚历山大发展了同调论,得到了霍普夫不变量,证明了莱夫谢茨不动点定理,亚历山大对偶定理。20世纪初引进了一般空间的同调群。1932年E.切赫上同调群产生。1944年S.艾伦伯格定义了奇异同调群且用艾伦伯格-斯廷罗德公理把各种同调群统一起来,建立了同调理论。在同伦论方面W.赫维茨定义了同伦群。J.H.C.怀特赫德把研究对象推广到CW复形。1947年N.E.斯廷罗德在障碍理论中定义了斯廷罗德平方运算。1951年J.-P.塞尔对纤维丛引进了谱序列,在同伦群的计算方面取得不少成就。此外纽结问题也进一步发展成为思维合痕和嵌入问题。

  Brouwer不动点定理:每个从n维圆盘到自身的连续映射存在一个不动点。

  n维球面可以有一个无处为0的连续单位向量场当且仅当n是奇数。(对于n=2,这有时被称为毛球定理。)

  Borsuk-Ulam定理:任何从n维球面到欧氏n维空间的映射至少将一对对角点映射到同一点。

  任何自由群的子群是自由的。这个结果很有意思,因为该命题是纯代数的而最简单的证明却是拓扑的。也就是说,任何自由群G可以实现为图X的基本群。覆盖空间的主定理告诉我们每个G的子群H是某个X的覆盖空间Y的基本群;但是每个这样的Y又是一个图。所以其基本群H是自由的。

  代数拓扑中最著名的未解决的几何问题是庞家莱猜想,它可能已经由Grigori Perelman所解决。同伦理论领域包含了很多悬疑,最著名的有表述球面的同伦群的正确方式。

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