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急!!!如何用球面三角形面积公式证明欧拉公式?

  球面三角形面积公式S=A+B+C-∏,欧拉公式F-E+V=2.注意是用球面三角形面积公式证明,不是用其它方法,请高手赐教!截至5-28 10:34,尚无满意解答.

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  展开全部假设在任意凸多面体中放置一个点光源,以这个点光源为中心作一个单位球,凸多面体的顶点、棱、面都会在球上形成投影。那么只要证明在球面上形成的点、线、面满足欧拉公式即可。

  然后将球面上的所有面剖分成三角形,剖分一个面时,任意两条剖分线不要在这个面的内部形成交叉,这样剖分为三角形后,球面投影的面数和线条线个面,线和面增加的数目相同。

  假设原来的顶点、棱、面的个数分别为V、E、F,那么进行三角剖分后,V不变,E和F增加的数目相同,因而F-E+V的值保持不变。下面只证全部为球面三角形时F-E+V=2。

  所有面全部为三角形时,由于每个面有3条边,而每条边又为2个面所共有,因而2E=3F,则F-E=-F/2,下面再证明V-F/2=2即可。

  每一个顶点的一个周角2∏被若干个球面三角形的角围成,因而所有三角形的内角总和为2∏V,一个球面三角形的面积为A+B+C-∏,则所有三角形的面积为:所有三角形内角总和-∏F,而所有三角形面积之和为球面面积4∏,即得2∏V-∏F=4∏,等式两边除以2∏得:V-F/2=2,问题得证。

  我们生活在地球上,地球表面十分接近于一个球面。因此,在实际生活中,球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的实际应用。例如,大地(天体)测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。在理论上,球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型,是一个重要非欧几何的数学模型,球面几何在几何学的理论研究方面,具有特殊的作用。

  本专题将使学生了解一个新的数学模型——球面几何,初步学习球面几何的一些基本知识及其在实际中的一些应用,通过比较球面几何和欧氏平面几何的差异和联系,感受自然界中存在着丰富多彩的数学模型。类比是学习这个专题所用到的重要的思想方法,空间想像和几何直观能力是学好这个专题的关键。

  1.通过丰富的实际问题(如测量、航空、卫星定位),体会引入球面几何知识的必要性。

  2.通过球面图形与平面图形的比较,感受球面几何与欧氏平面几何的异同。例如,球面上的大圆相当于平面上的直线,球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分,球幂定理。

  4.了解球面上的一些基本图形:大圆、小圆、球面角、球面二角形(月形)、极与赤道、球面三角形、球面三角形的极对称三角形(简称球极三角形)。

  5.通过球面几何与欧氏平面几何比较,探索欧氏平面图形的哪些性质能推广到球面上,并说明理由,由此理解球面三角形的全等定理s.s.s,s.a.s,a.s.a。

  6.理解单位球面三角形的面积公式(S=A+B+C-π),由此体会球面三角形内角和大于180O。

  9.利用向量的叉乘(向量积)探索并证明球面余弦定理(cosc=cosacosb+sinasinbcosC)和球面上的勾股定理(即当C=π/2时的球面余弦定理),能从球面的余弦定理推导出球面的正弦定理(sinA/sina=sinB/sinb=sinC/sinc)。

  10.体会当球面半径无限增大时,球面接近于平面,球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。

  12.完成一个学习总结报告。报告应包括三方面的内容:(1)知识的总结。对本专题整体结构和内容的理解,说明球面几何与平面几何中哪些公式(定理)是相同的,哪些公式有本质差异;说明为什么相对于半径来说很小的一小片球面可以作为一个平面来对待。(2)通过查阅资料、调查研究、访问求教、独立思考,进一步思考几何与现实空间的关系。(3)学习球面几何的感受、体会。

  2.教学中应使学生切实地感受利用球面几何知识可以解决(或解释)生活或生产中的一些实际问题。在介绍球面几何时,让学生通过欧氏平面几何和球面几何的类比,得到球面几何的相关结论,促使学生思考平面几何模型与球面几何等非欧几何模型的差异。

  3.介绍球面几何与欧拉公式,主要是为了开拓学生的数学视野,使学生了解一些非欧几何模型,对学生掌握现代数学思想方法有很大帮助。

  4.球面几何涉及到大量的空间图形的对称性(变换),在条件允许的学校,教学中可以充分利用(CAI)多媒体技术。

  尝欧拉公式:对于任意多面体(即各面都是平面多边形并且没有洞的立体),假 设F,E和V分别表示面,棱(或边),角(或顶)的个数,那么

  F-E+V=2。试一下用拓朴学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。

  (2)去掉多面体的一个面,就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形,像图中②的样子。假设F′,E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数,我们只须证明F′-E′+V′=1。

  (3)对于这个平面图形,进行三角形分割,也就是说,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到成为一些三角形为止,像图中③的样子。每引进一条对角线,而V′却不变,所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候,F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。

  (4)如果某一个三角形有一边在边界上,例如图④中的△ABC,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即AC,这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变,所以F′-E′+V′也没有变。

  (5)如果某一个三角形有二边在边界上,例如图⑤中的△DEF,去掉这个三角形的不属于其他三角形的边,即DF和EF,这样就去掉△DEF。这样F′减去1,E′减去2,V′减去1,因此F′-E′+V′仍没有变。

  (6)这样继续进行,直到只剩下一个三角形为止,像图中⑥的样子。这时F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

  (7)因为原来图形是连在一起的,中间引进的各种变化也不破坏这事实,因此最后图形还是连在一起的,所以最后不会是分散在向外的几个三角形,像图中⑦那样。

  (8)如果最后是像图中⑧的样子,我们可以去掉其中的一个三角形,也就是去掉1个三角形,3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。

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