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有哪些美到不行的理科公式

  最初等最容易理解的就是Euler formula,凸多面体的V+F-E=2,环面的V+F-E=0……而升级版本的Euler char是个联系拓扑几何的超级不变量,定义是同调群的Betti number的交错和,然后对三角剖分可以联系到复形个数的交错和,向量场的自相交数,向量场孤立零点的指标和(Poincare-Hopf thm),曲面上的Gauss-Bonnet公式,还有推广的Gauss-Bonnet-Chern公式……所有的这些东西都通过Euler char联系起来,真心漂亮.

  初学的时候觉得这个定理特别的刚,光定理内容就叙述了一页多,实在是非常的恶心……然后后来在Fulton的书上看到了pushout和Grothendieck的G-covering的证明,才觉得真心漂亮非常.那些繁杂的东西,说白了就一句话,这个functor保持pushout.不过美中不足的事情是,真的要用这个定理来算的时候还得回到群论里的那一套……

  这是同调代数里面最基本的式子,然后在同调论里面屡试不爽,广泛运用在各种同调里面,比如de Rham cohomology里用这个加上good cover的技巧可以推出超级多的结论,单纯同调里面用这个去算各种奇怪的东西的同调群也是屡试不爽.

  这个和MV序列差不多,但是还是分开说吧.内容是对于Serre fibration也可以像MV序列一样拉出同伦群的长正合列.好像除了这个以外就再没有见过群范畴里面的正合列了,足见漂亮程度.用这个公式可以轻松算出.

  流形上的Stokes公式,这个最高票答案已经提到了,不多说了.顺便一说,以此为基础建立的Hodge theory也是漂亮非常.

  Bott periodicity.K theory里面的公式,内容是对于复范畴和实范畴的K群各有其周期性.好吧K theory我学的其实不是太精,没法详细讨论了……多说一句,那个利用六项正和列的证明真心漂亮……

  好了现在已经转到代数上了……定理内容是Artin半单环可以分解成可除环上矩阵的直积.学群表示的时候接触到了这个定理,结论非常漂亮,而且证明也非常简洁记忆犹新.最开始学群表示的时候是用的初等的语言,后来转到群环、半单环和模的语言之后,加上用了这个定理,整个理论都变得非常简洁.代数里面漂亮的公式其实还有很多,想到再说.

  Atiyah–Singer index theorem.最近在看这个,看完再补充吧……

  最初等最容易理解的就是Euler formula,凸多面体的V+F-E=2,环面的V+F-E=0……而升级版本的Euler char是个联系拓扑几何的超级不变量,定义是同调群的Betti number的交错和,然后对三角剖分可以联系到复形个数的交错和,向量场的自相交数,向量场孤立零点的指标和(Poincare-Hopf thm),曲面上的Gauss-Bonnet公式,还有推广的Gauss-Bonnet-Chern公式……所有的这些东西都通过Euler char联系起来,真心漂亮.

  初学的时候觉得这个定理特别的刚,光定理内容就叙述了一页多,实在是非常的恶心……然后后来在Fulton的书上看到了pushout和Grothendieck的G-covering的证明,才觉得真心漂亮非常.那些繁杂的东西,说白了就一句话,这个functor保持pushout.不过美中不足的事情是,真的要用这个定理来算的时候还得回到群论里的那一套……

  这是同调代数里面最基本的式子,然后在同调论里面屡试不爽,广泛运用在各种同调里面,比如de Rham cohomology里用这个加上good cover的技巧可以推出超级多的结论,单纯同调里面用这个去算各种奇怪的东西的同调群也是屡试不爽.

  这个和MV序列差不多,但是还是分开说吧.内容是对于Serre fibration也可以像MV序列一样拉出同伦群的长正合列.好像除了这个以外就再没有见过群范畴里面的正合列了,足见漂亮程度.用这个公式可以轻松算出.

  流形上的Stokes公式,这个最高票答案已经提到了,不多说了.顺便一说,以此为基础建立的Hodge theory也是漂亮非常.

  Bott periodicity.K theory里面的公式,内容是对于复范畴和实范畴的K群各有其周期性.好吧K theory我学的其实不是太精,没法详细讨论了……多说一句,那个利用六项正和列的证明真心漂亮……

  好了现在已经转到代数上了……定理内容是Artin半单环可以分解成可除环上矩阵的直积.学群表示的时候接触到了这个定理,结论非常漂亮,而且证明也非常简洁记忆犹新.最开始学群表示的时候是用的初等的语言,后来转到群环、半单环和模的语言之后,加上用了这个定理,整个理论都变得非常简洁.代数里面漂亮的公式其实还有很多,想到再说.

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