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高斯——比内—— 陈定理是什么?

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  展开全部哲学指导各门具体科学,离开各门具体科学哲学也无从谈起。数学作为基础科学中的一门,当然同哲学也有不可割断的千丝万缕的联系。本文试图从哲学的角度出发,对某些和数学有关的现象作初步分析。

  唯物辩证法认为,世界的本原是物质。谈到数学对象,这里有一个问题:数学对象是不是物质?这些数学概念与它们所代表的事物,是哪个在前哪个在后?这有点关系到数学的本质问题。关于这个问题,历史上有多种看法:柏拉图主义认为,数存在于理念世界;唯名论观点认为,数是纸上的符号或头脑中特定的概念;德国古典哲学的代表人物康德认为,数是思维创造的抽象实体;约定论观点认为,数学规则不过是人的约定……这些看法无疑都是唯心主义的观点。如果承认这类说法是正确的,有一个问题无法解释:为什么数学定律如此准确和客观,和我们的物质世界符合的这样好?例如虚数的产生是谁也没有想到的,在发现虚数之后的几百年内最伟大的数学家也认为它是一个怪物,纯属虚幻。直到后来人们在物理中找到它的用处才发现它并不虚。又例如黎曼几何的创立,创立之后受到人们的冷落,却成为100年后爱因斯坦提出相对论所用的有力工具。如果数学对象是主观产生的,像这样的问题如何解释呢?因此,我们用唯物论来说明:数学对象来源于客观事物,数学概念是客观事物的数量关系和空间形式在人的头脑这个物质中抽象出来的,人们根据概念创造出数学对象,一旦创立,数学系统就有了自己的规律,任何规律都是事物运动过程本身所固有的、必然的、本质的联系,不为人的主观意志所转移,数学规律也不例外。由于对象来源是物质世界,数学规律是人们从客观世界的运行规律中抽象出来的,数学的准确性和客观性也就不难解释了。无论数学家是不是唯心主义者,当他们遵循规律进行数学运算时,他们已经不自觉地运用了唯物论。数学体现了唯物辩证法的观点,同时也体现了唯物主义认识论的观点。人的认识是直接或间接从实践中得到的,而感性认识又经过人脑的抽象后上升到理性认识,此后再指导实践。如此往复,人类的认识水平才不断提高。而数学的发展过程也体现了这一观点。

  关于数学对象的产生,应该用唯物辩证法中矛盾的普遍性与特殊性的观点来解释。唯物辩证法认为,世界上的一切事物不但包含矛盾的普遍性,而且包含了矛盾的特殊性。我们认识事物的时候,要遵循从特殊到普遍,再从普遍到特殊的认识秩序。初等数学知识基础中的基础,自然数的单位1是小学生都知道的,但是1是什么?1是一张椅子吗,是一个电脑吗,还是一个别的什么东西?都不是。1是思维对事物高度抽象的结果,是不管所谈论物体的颜色,重量,状态等等,除矛盾特殊性后得出的最基本的普遍性——代表一个个体。这是人类计数数最基本的来源。再问一句,那2是什么?物质世界中只有1没有2!每一个个体都是独一无二的,它都具有自己的特殊性。从1得到2,又需要更进一步的抽象。这样抽象出来的数,具有放之四海皆真理的特点,它所具有的运算律,也适用于它的来源——物质世界。但我们也不能教条主义地认为,所有的东西都是1+1=2,要对具体的问题进行具体的分析,例如一杯水和另一杯水倒在一起还是只有一杯。

  有了数学对象,我们对它们进行研究。欧氏几何中有这样一个定理:三角形内角和等于180度。这个定理似乎很简单,但从哲学的角度来看,这里蕴含了深刻的道理:它阐明的是三角形的总体性质,这样的性质对于三角形的任何一个角,任何一条边都不适用;但正是由于各个角、各条边各自性质的相互作用,才使得这个定理成立。正好印证了唯物辩证法的观点:整体和局部既相互联系又相互区别,二者不可分割,相互影响。现代数学十分关心事物的总体性,数学分析中有一门分支就专门研究流形(曲面的推广)的总体性质。也不知道是数学的发展影响了哲学,还是哲学影响了数学?另一方面,上面这个定理讲的是三角形,那么四边形呢?五边形呢?n边形呢?这个问题初中生也可以回答:是(n-2)×180度。但是这样的回答并不完美,太繁琐。从另一个角度出发,当代数学大师陈省身利用归纳法提出了著名的定理:任意凸多边形的外角和为360度!放到曲面上,放到流形上,最终达到了深刻的著名的高斯—比内—陈定理。这里再一次体现了从普遍性到特殊性,再从特殊性到普遍性的辩证法道理。

  唯物辩证法与形而上学最根本的区别就在于唯物辩证法是以联系的、发展的、全面的观点看问题,而形而上学则采用孤立的、静止的、片面的观点看问题。虽然数学本身是一门严谨精确的学科,有着旺盛的生命力,但是无论在任何时候,数学要发展,就必须采用唯物辩证法的观点去解决数学问题,这在数学的发展史上是得到了证明的。著名的数学家拉格朗日曾指出:“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄,但是当这两门科学结合成伴侣是,它们就互相吸取新鲜的活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善。”确实,如果将“数”与“形”之间的关系以孤立、静止、片面的观点去看,那么数学就不可能有如此长足的发展。历史上三次数学危机的发生,归根结底都可以总结为科学家们没有认识到数学的本质特点,不知不觉犯了唯心主义或形而上学的错误。在第一次数学危机——无理数的发现——发生之前,毕达哥拉斯学派认为:万物皆数。这里将数学中的“数”作为万物的本源就是犯了唯心主义的错误。“数”本身是一个抽象概念,仅仅是物质具体形态的一个属性,本身并不具有物质性,如果将“数”作为万物的本源实际上就是将一个抽象的概念(意识)作为本源了。当代数学需要形式逻辑,但并不是形而上学。很多人认为形式逻辑就是形而上学,这一点也是不正确的。形式逻辑与形而上学有着本质的区别,形式逻辑从形式结构方面研究概念、判断和思维,它揭示了人类在思维过程中的一种必然规律,而不是静止不变地看待问题。看待数学问题,尤其是从总体上去把握数学的时候,应当采用辩证唯物主义的观点,而不能仅仅被表面现象所迷惑而不去发掘数学的本质属性。

  在以上的讨论中可见,数学中体现了丰富的辩证唯物主义观点,这一方面说明了数学是辩证的,另一方面也从一个侧面反应了唯物主义的正确性。西方哲学家的努力有助于使数学与哲学结合得更紧密,马克思在百忙之中认真学习数学,写出了极重要的《数学手稿》。毋庸置疑数学发展离不开哲学的指导,而哲学可以也应该在数学中汲取到营养。

  早在Gauss十五岁时,他就构想了一种几何,这种几何中Euclid几何中的第五公设不再成立,他把这个几何成为“星空几何”,或许他预计到这种几何在浩瀚星空中可能实现。

  但是我们都知道,真正公开地、系统地提出这个几何的是Lobachevskii(有些英文文献是Lobachevsky,俄国人的名字再翻译成英文时可以有些小差别。)所以这种几何被称作“Lobachevskii几何(Lobachevskian Geometry),也称为双曲几何(Hyperbolic Geometry)。在双曲几何中,三角形内角和不再等于180度。但是我们需要的不仅是这个定性结果,而是要确定内角和与180度的偏差程度,即所 谓的“角盈”,角度的盈余,当然这个盈余时广义上的盈余,如果差别为负数,那么就是负的盈余了:)

  描述这个差别的就是著名的(局部)Gauss-Bonnet定理,它将曲面的曲率与角盈直接联系在一起。曲面上多边形的Gauss曲率K在曲面上的积分加上多边形边界曲线的测地曲率k_g在边界上的积分再加上多边形外角和等于2π,如果这个多边形的 边界曲线是测地线,这时候测地曲率的积分就为零,计算将大大简化。如果是测地三角形,那么我们马上可以得出三角形内角和公式的推广 。由于内角与外角的互补关系,所以公式将变为:三角形内角和减去π等于Gauss 曲率K在在三角形所围曲面上的积分。于是我们可以知道:

  如果K大于零,那么这就是类似于球面上的三角形,角盈为正,三角形内角和大于π;

  如果K小于零,那么这就是类似于伪球面上的三角形,角盈为负,三角形内角和小于π。

  因此Gauss-Bonnet公式即使特殊化两次(第一次先让多边形边界曲线的测地曲率为零,第二次让多边形为三角形)后仍然得出这三个优美结果,直接推广了三角形内角和公式。

  而整体的Gauss-Bonnet定理更加优美:紧致定向的二维Riemann流形M(可以粗略地看为是曲面的推广)的Gauss曲率的积分值等于2πχ(M),其中χ(M)是M的 Euler示性数,典型的整体的离散值,而Gauss曲率可以连续取值的局部值。这里,测地曲率的线积分被直接抵消,我们想想复变函数中证明多连通域的Cauchy积分定理时辅助线积分的互相抵消得出得优美结果(实际上我们在证明多连通域的 Grenn定理时就有这个方法了),就可以类推想象这个结果。只是在整体Gauss- Bonnet定理的证明中是用了著名的“三角剖分”把区域分称一个个三角形,抵消线积分(在单连通域的Cauchy积分定理的现代证明中也用到三角剖分),而多连通域的Cauchy积分定理中是将多连通区域划分成一个个单连通区域。我们从这里 也可以看出数学中很多领域的研究有着异曲同工之妙。这样一个公式就巧妙地将起两个迥异的重要概念完美结合。

  后来,曲率经过Riemann的推广成为几何中的核心概念,Euler示性数经过Poincare的推广后成为拓扑学中的核心概念,这两个概念在整体微分几何中巧妙结合,而这种巧妙的结合就是由于Chern关于高维复流形(complex manifold)上的Gauss-Bonnet定理的直接的、内蕴的推广。果然应了“龙生龙,凤生凤,老鼠儿子会打洞”这句俗话。伟大的定理,经过伟大的推广,产生更加伟大的学科。

  当年Weil和Allendorff用分块切割嵌入高维Euclidean空间中证明推广这个定理时,Nash嵌入定理还未出现,所以前提首先就不成立。在加上一个内蕴的优美结果 却用外蕴的方式来推广,实在很令人不满意。所以Chern一到美国,Weil就把这个 想法告诉Chern,并断定这个定理一定有内蕴的证明方法。Chern很快就完成这个证明了。当时数一数二的数学大师Weyl看了这个结果后惊未神来之笔,赞叹祝贺 。Weil则断定这是几何学里程碑式的伟大工作。

  在这里,我们从双曲几何一直说到著名的Gauss-Bonnet-Chern定理,我们还要提 到一个人,那就是伟大的Riemann,正是他创立了狭义的Riemanan几何(Riemann Geometry),然后又把这个结果纳入他创立的极度深邃的“广义Riemanan几何 (Riemannian Geometry,分清楚与Riemann Geometry的区别,它们形式上差别是 “ian”,实质上的差别却是“常曲率”与“任意曲率”的差别),推广了Gauss 的曲面内蕴几何学,定义了抽象Riemann度量,仅仅在2维情形就直接摆脱了Euclidean空间的嵌入研究,使曲面的研究不再等价于3维Euclidean空间中的曲面 研究。著名的Poincare上半平面上定义了Poincare度量,它无法在3维Euclidean 空间中实现嵌入,Poincare度量就是Riemann度量的一种。

  正如Milnor的所言,双曲几何在Riemann几何出现前只是没手没脚的躯干而已。Riemann让这个躯干成为正常人体。

  Riemanan之后,Beltrami使伪球面上实现了局部的双曲几何,Klein在开单位圆( 不包括圆周)上实现了整体的双曲几何,而Poincare在上半平面(不包括实数轴 )上实现了整体双曲几何。容易证明,单位圆和上半平面存在共形映射,而单位 圆周和实数轴作为两个域的边界,也一一对应。在单位圆上赋予Poincare度量(Poincare metric),就可以计算出它的截面曲率为-1,证明双曲几何的空间曲 率小于零。正如我们所知道的,双曲几何从Poincare去世后发展至今,最牛的人 物是Thurston,Fields奖获得者。此外,这个学科的发展很缓慢,足见其艰难,也足见Poincare之伟大。

  大名鼎鼎的Schwarzschild早在26岁时就考虑过宇宙如果为弯曲的话,曲率半径应 该为多少,他在19世纪末时就说:“本世纪有人在Euclid几何之外提出non- Euclid几何,其主要实例就是球面空间和伪球面空间。我们如果知道可能具有有限曲率半径的球面和伪球面几何中世界是什么样子,我们会感到惊讶。如果有这种可能,你会感到自己处在几何学的仙境里;而且如此美妙的仙境会不会变为现实,我们也无法知道。”(摘录自Chandrasekhar于1986年的Schwarzschild讲座中所引用文字,杨建邺、王晓明等译)

  他还应用当时的天文学数据估算了3维空间曲率半径的极限,认为双曲空间与球形空间的曲率半径的下限分别为64光年和1600光年。

  我们当然知道,在1900年的时候,天文测距技术还是不完善的,实际上Einstein 提出静态宇宙学模型时(1917年)对宇宙大小的认识还是很模糊的,甚至于Hubble提出膨胀宇宙学说时,由于造父变星光度的分析有错误,使得宇宙的观测也相应出现严重失误。因此,在Schwarzschild那个时代,对宇宙有着如此的梦幻与计算,实在是非常了不起的。他的思想已经深入到双曲几何和椭圆几何中去了。

  说个题外话,现代微分几何学家处理三维问题和四维问题时面对的困难相差时很大的,因为三维空间Ricci曲率如果为零,则Riemann截面曲率就为零,而四维空间没有这个性质。但是在Schwarzschild那时,他肯定无法考虑到这个,所以如果 他牛到直接考虑四维时空,也照样提刀上阵:)

  我们也知道,Lobachevskii在提出双曲几何时就已经想象到它或许会在宇宙中实现,他说:“同时,不能不重视Laplace的见解:我们所见到的星星饿银河只属于天体的一部分,就像微弱的、若隐若现的斑点,类似于我们在猎户星座、摩羯星座及其他星座中所看到的一样。于是,且不说在想象中空间可以无限地延伸,自然界本身向我们显示的距离,甚至同我们的地球到恒星的距离相比,后者也因微小而可以忽略。此外,不能进而断言,假定直线的度量不依赖于角——这一假设,许多几何学家想采纳它作为毋需证明的严格的真理——可能在我们过渡到可见世界的极限之前,就会发现它有可以觉察到的错误。”

  英国的Clifford实际上也设想过这个问题,但是到了Schwarzschild时,这个梦想被继续深化了。这样我们就可以理解为什么Einstein一搞出广义相对论,Schwarzschild就给出第一个精确解,人家早就是老手了,学起这些新的几何学也 时易如反掌,再加上解偏微分方程的特殊能力,使得Einstein对这个结果赞赏不已,比起6年后对待的Friedman,可谓无比真诚了。

  我们理当也多说几句关于椭圆几何的问题,因为它和双曲几何(Hyperbolic Geometry)一样是non-Euclidean Geometry,但是考虑到从Euclidean Geometry 到Hyperbolic Geometry的实质性跨越,双曲几何到椭圆几何的跨越几乎为零,只是平行发展而已,我并没有贬低Riemann的意思,椭圆几何只是上面说的“狭义的Riemanan几何”,仅仅凭借广义的Riemann几何学,Riemann的伟大已经不再需要这个安慰奖了,何况他还是其他多项无上的光荣:Riemann面,Riemann假设等等。

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