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什么是点集拓扑什么是代数拓扑二者有啥区别与联系?

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  本编辑又是代星火视频教程网的用户提问了。唉,做这个网站的编辑要求还是蛮高,刚讨论完DNA,又研究拓扑了,五花八门的学术问题,貌似本编辑超专业的样子。听说过拓扑学,但是星火视频教程网的用户留言啊,有人要找点集拓扑,有人要找代数拓扑,本编辑懵了,拓扑学还这么细分哪。呵呵,还是来知道请教真正的专家吧。谢谢了。

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  展开全部《点集拓扑》课程是一门现代数学基础课程,属数学与应用数学专业的理论课。是数学与应用数学专业的主干课。点集拓扑学(Point Set Topology),有时也被称为一般拓扑学(General Topology),是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的基本性质。这一分支起源于以下几个领域:对实数轴上点集的细致研究,流形的概念,度量空间的概念,以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式,点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。

  代数拓扑(Algebraic topology)是使用抽象代数的工具来研究拓扑空间的数学分支。它的前身是组合拓扑,组合拓扑的奠基人是H.庞加莱,1895年他建立了单纯同调群即可三角剖分的空间(多面体)的同调群,引进了重要的拓扑不变量贝蒂数及挠系数。J.W.亚历山大在1915年证明了贝蒂数和挠系数是同胚不变量,单纯同调群是同胚不变量。同时庞加莱还引进了复形的基本群。1904年他给出了庞加莱猜想,即每个单连通的闭的可定向的三维流形同胚于三维球面,这个猜想后被推广为每个单连通的闭的n维流形,如果具有n维球S的贝蒂数和挠系数,它就同胚于S。庞加莱猜想尚未被证明。推广了的庞加莱猜想,对于n≥5的情形,为S.斯梅尔于1961年证明,对n=4的情形,为M.H.弗里德曼于1981年所证明。庞加莱是企图利用同调群和基本群对三维流形进行同胚分类,但亚历山大在1919年指出存在不同胚的三维流形,它们有同构的同调群和基本群。20世纪20年代S.莱夫谢茨和亚历山大发展了同调论,得到了霍普夫不变量,证明了莱夫谢茨不动点定理,亚历山大对偶定理。20世纪初引进了一般空间的同调群。1932年E.切赫上同调群产生。1944年S.艾伦伯格定义了奇异同调群且用艾伦伯格-斯廷罗德公理把各种同调群统一起来,建立了同调理论。在同伦论方面W.赫维茨定义了同伦群。J.H.C.怀特赫德把研究对象推广到CW复形。1947年N.E.斯廷罗德在障碍理论中定义了斯廷罗德平方运算。1951年J.-P.塞尔对纤维丛引进了谱序列,在同伦群的计算方面取得不少成就。此外纽结问题也进一步发展成为思维合痕和嵌入问题。

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