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真正的数学大神请进!关于平面凸多边形三角剖分数的问题

  由乌尔班的三角剖分数公式Dn+1/Dn=4*n-6/n推知六边形三角剖分数比五边形三角剖分数为:D6/D5=4*5-6/5=14/5=28/10(即,28是六边形的三角剖分数,10是五边形的三角剖分数)但是,我是用...

  由乌尔班的三角剖分数公式Dn+1/Dn=4*n-6/n推知六边形三角剖分数比五边形三角剖分数为:

  但是,我是用阶乘求组合的方式求六边形的三角剖分数却不是28,而是C3=6!/3!(6-3)!=4*5*6/1*2*3=20,即六边形的三角剖分数是20。

  请问,用不同的方法计算,一个是28,一个是20,到底哪个对?错的那个问题出在哪里?请务必有详解过程地回答我!!!展开我来答

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  一般所指的三角剖分数D[n], 是指将凸n边形分成n-2个三角形的方法数,

  请先明确你所想求的三角剖分数具体是什么意义.更多追问追答追问你的回答前后矛盾嘛~~~不赘述,哪里矛盾你自己看吧。追答好吧, 我的意思是一般意义的三角剖分数应该是D[n]那个序列:

  需要麻烦你解释一下, 我再回答该种意义的三角剖分数应该怎样计算.追问我所要知道的是:以平面凸多边形的顶点为三角形的三个顶点,所进行的三角剖分。其实我已经知道还是我用阶乘求组合的方式求得的结果对——当然,这么不谦虚地说话,是站在我所要的以多边形的顶点为三角形的三个顶点这一立场之上。但是,我还想知道的是:乌尔班的三角剖分公式为什么不能适用于我说的这种三角剖分?乌尔班三角剖分公式有其局限性吗?追答

  所以以多边形的顶点为三角形的顶点这一点并没有分歧,

  有分歧的还是更基本的问题: 什么是三角剖分? 这一点你还是没有解释清楚.

  其中分划所得的每个三角形的顶点都是多边形的顶点, 且不难验证这些就是全部.

  按我的揣度, 你所求的其实不是三角剖分数, 而是以n边形的顶点为顶点的三角形个数.

  对啦,就是这个!您所说的三角剖分的方法数量与三角剖分的个数这两个,我都求证过了,与您的详解一致。但看了您的详解我才知道,乌尔班公式是求证三角剖分方法数量的(对吗?),而非三角剖分的个数——这正是我认为乌尔班公式与阶乘结果不一致的错误原因。最后再次请您不弃肤受赐教:乌尔班的三角剖分到底是怎样的?那些乌漆麻黑的百科词条我都看不懂~~~谢谢啦!

  思路很明确: 尝试将n边形的三角剖分方法与n+1边形的三角剖分方法建立某种对应关系.

  作为建立联系的基准, 对n边形和n+1边形都选择一条基准边 (图中的绿边).

  (1) 对于n边形的一种三角剖分, 任选图形中的一条线段 (图中的黄线段),

  (2) 对于n+1边形的一种三角剖分, 任选除基准边以外的一条边 (图中的红边).

  同时剖分中以该边为一边的三角形(图中黄三角形)压缩成一条线段 (图中黄线段).

  下图以n = 5为例, 展示了上述两种操作的代表情形(五边形变为其右边的六边形):

  n边形的每一种三角剖分图形中, 都恰有2n-3条线条对角线)中的黄线种选法.

  在此基础上, 红点有2种选法, 因此每种n边形剖分方法有4n-6种进行操作(1)的选择.

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